路駿：有效提高學生運算能力的思考

在教學中我們發(fā)現(xiàn)，許多學生在平時練習或考試中會出現(xiàn)會而不對、對而不全的情況，丟了本該拿下的分數(shù),十分可惜.究其本質(zhì)，是這些學生的運算能力不過關.

運算能力是指對記憶能力、計算能力、觀察能力、理解能力、聯(lián)想能力、表述能力、邏輯思維能力等數(shù)學能力的統(tǒng)稱，是一種集算理、算法、計算、推理、轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學思想方法于一體的綜合性能力.《上海市中小學數(shù)學課程標準》對高中階段明確要求：能按照一定的規(guī)則和步驟進行計算、畫圖和推理；理解算理，能夠根據(jù)問題條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，通過運算進行推理和探求.而數(shù)學高考也歷來重視運算能力，80%以上的考分都要通過運算得到.因此，何如提高學生的運算能力已成為數(shù)學教學中最為關注的問題之一.

下面談談自己對提高學生運算能力的一些認識與做法：

1.造成學生運算能力不過關的因素

1.1固定的思維方法

固定的思維方法在運算中有積極的一面，但也有消極的影響.當學生掌握了某一種知識（方法）后，以后遇到類似的問題就會習慣用舊知識（方法）解決，久而久之，必然會出現(xiàn)思維的惰性，缺乏多方位、多角度思考問題的意識，不利于運算速度的提高，更有可能因為運算過程的繁冗不堪，導致學生厭惡數(shù)學學習.

如： .有部分學生會頑固地把 展開，然后根據(jù) ，通過解一元二次方程得到最后答案.很難相信，一個學生做了這樣三個題，他能不反感.其實本題通過角的構(gòu)造 很快就可以解決了，數(shù)學多有意思啊！

1.2心理上的不重視

很多學生不屑談“運算”——小兒科的東西，計算導致的錯誤從來都是不以為然­——不就是“粗心”嘛！

曾聽一些學生說他們的困惑：老師，為什么上課你講的例題我會了，可一到家，只剰一點印象，就是做不全呢？其實上課能聽懂例題并不表示你就掌握了這方面的知識，只有自己親手實踐并經(jīng)檢驗是正確的，那才算過關.我經(jīng)常在課上請學生做一些運算的過程，當很多人在奮筆疾書的時候，有上述困惑的同學多數(shù)是在草草演算或悠閑地等待同學的勞動果實.如求值： ，很多學生在解題中丟了 或 這兩種情況，自己不動手就不知道問題出在哪，怎一個“粗心”可以搪塞的！運算的過程正是檢驗學生對知識理解的過程.

另外，高考允許使用計算器，更加劇了學生對運算的輕視.計算器的過分使用，導致學生產(chǎn)生依賴心理，妨礙了他們對基本事實的熟練，理科老師對于學生用計算器計算兩位數(shù)加法的場景應該很熟悉吧！呂學禮先生說得好：“基本的心算、筆算技能，仍然必須使學生充分熟悉，絕不能把一切計算全部諉諸計算器.只有在很好地掌握基本計算的基礎上，才能很好使用計算器.”

1.3教師自身的原因

有些教師比較著重解題方法和思路的引導，而忽視對運算過程的合理性、簡捷性的必要指導.他們上課時往往為了趕進度，對于某些題目缺乏必要的板演，或者沒有給予學生充分的時間讓他們在課堂上演算，導致學生誤以為運算是數(shù)學學習中一個無關緊要的問題.可以說，學生在心理上對于運算缺乏足夠的重視與教師平時的教學有一定聯(lián)系.

2.運算能力及其特點

2.1運算能力的層次性

在數(shù)學發(fā)展的歷史上，不同類別的運算是由簡單到復雜、由具體到抽象、由低級到高級逐步形成和發(fā)展起來的.因此對運算的認識和掌握也必須是逐步有序、有層次的，不掌握有理數(shù)的運算，就不可能掌握實數(shù)運算；不掌握整式的運算，就不可能掌握分式的運算.不掌握有限運算，就不可能掌握無限運算；沒有具體運算的基礎，抽象運算就難以實現(xiàn).由此可見，運算能力是隨著知識面的逐步加寬、內(nèi)容的不斷深化、抽象程序的不斷提高而逐步發(fā)展的.如果說數(shù)學內(nèi)容的發(fā)展是無窮的，那么運算能力的提高也是永遠不會終結(jié)的.

2.2運算能力的綜合性

運算能力既不能離開具體的數(shù)學知識而孤立存在，也不能離開其他能力而獨立發(fā)展，運算能力是和記憶能力、計算能力、觀察能力、理解能力、聯(lián)想能力、表述能力等互相滲透的，它也和邏輯思維能力等數(shù)學能力相互支持著.因而運算能力的問題，是一個綜合問題，應該滲透在中學各個學科的教學過程中.正如澳門大學助理教授黃榮金說的：“數(shù)學的熟練程度應提升到與讀和寫一樣的，教育中的優(yōu)先地位，讀和寫在任何科目的教學中都得到提高，數(shù)學也應該如此.數(shù)學運算能力中的推理能力應該成為學校理科教育的有機組成部分，展示和解釋圖表數(shù)據(jù)應該成為社會科學教學的一部分.”[2]

3.有效提高高中學生運算能力的三個層次：

3.1運算的準確性——基本要求

運算能力的強弱，主要表現(xiàn)在運算的正確與否和速度的快慢上，其中正確又是迅速的前提，如果是錯誤的運算，再快也沒有實際意義.因此在教學過程中，教師要不斷引導學生思考如何才能做到運算正確.

3.1.1重視概念學習，培養(yǎng)嚴謹思維

基礎知識是算理的依據(jù)，對運算具有指導意義，基礎知識混淆、模糊、不過硬，往往是引起運算錯誤的根本原因.因此，在學習過程中，要求學生重視數(shù)學概念、定義、運算法則的學習，做到咬文嚼字.如：在學習函數(shù)奇偶性、單調(diào)性定義時，必須理解“任意”兩字，否則是后患無窮.在做運算題時，既要讓學生知道“怎樣運算”，更應明確“為什么這樣運算”，做到步步有據(jù)，理由充分，老師講過的便是要做到真懂，即將題目適當變換后還會做，能舉一反三.

3.1.2要求學生牢記一些通式通法，用來解決一些常見題型，確保運算的正確以及格式的規(guī)范.如：求反函數(shù)的解題步驟.

3.1.3改革作業(yè)方法，挖掘內(nèi)在潛力

要求學生做到“一禁止二可以”，勇于保留錯誤.即禁止學生做作業(yè)時擦來改去的不認真現(xiàn)象.解題中發(fā)現(xiàn)錯誤，可以停止解答，打上記號，在旁邊重新解答；做完一道題經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)錯誤，可以在一旁另外做答，直至正確.學生把錯誤“保留”下來，有利于自我反思，培養(yǎng)學生認真細致的習慣，提高做作業(yè)的速度和準確率.

3.1.4指導學生建立運算錯誤題庫，時時提醒自己

學生和老師最頭痛的莫過于有些題屢做屢錯，屢糾屢犯，原因是學生對自己的錯誤運算印象不深.因此要求學生每單元結(jié)束后，對作業(yè)中出現(xiàn)的不同差錯進行統(tǒng)計、分類歸納、比較分析，在知錯的同時，尋求補救措施.

3.2運算的合理、簡捷、迅速——較高要求

從理解有關運算的基本知識到形成這種運算的技能，總是要經(jīng)過“先慢后快”、“先死后活”的過程.隨著運算技能的形成，逐漸簡化運算步驟，靈活運用法則、公式，逐步培養(yǎng)學生合理選擇簡捷運算途徑的意識和習慣.

3.2.1培養(yǎng)比較意識，選擇合適解法

比較意識是解決問題的一個重要方向.一題多解時，這就要求我們善于選優(yōu)而從.比如前面說到的： .教師應該引導學生觀察已知角與未知角的關系，得到 ，從而簡化運算過程，加快運算速度，提高運算準確率.如果教師在平時的教學活動中能夠給予學生更多運算方面的指點，學生在自己獨立完成某個運算量較大的題目時就會嘗試觀察題目本身具有的特征，不會一拿到題目就不管不顧的開始計算.特別是解析幾何中的直線與橢圓、直線與雙曲線的有關問題，需要大量計算，這就更加要求學生在運算前對題目有一個清楚分析，從而選擇合適的解題方法.

3.2.2提倡解題后反思，提升運算能力

解題后的反思是指學生在數(shù)學學習完成（階段性）之后對自己的數(shù)學學習行為、解題思路、解題方法和結(jié)果等的反思.波利亞指出“即使是相當好的學生，當他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證后，就會合上書本，找點別的事情來做.這樣他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面”.[通過反思解題思路，可總結(jié)解題規(guī)律，形成通式通法；探求多種解題方法，可強化比較思想；進一步做力所能及的推廣，可培養(yǎng)探索能力，激發(fā)創(chuàng)造性.課堂上所獲得的知識是有限的，許多問題的解決要通過學生對信息的聯(lián)想、創(chuàng)造，通過反思，可以深刻理解數(shù)學知識，最終達到合理、簡捷運算的目的.

3.3運算的技巧性、靈活性——高標準要求

要能達到運算的技巧性，必須具備一定的推理能力和邏輯思維能力.首先學生在思想上要充分認識提高運算能力的重要性，把運算技能上升到能力的層次上，把運算的技巧與發(fā)展思維融合在一起.學生應杜絕“重結(jié)論輕過程”，真正動手、動腦于知識發(fā)生、發(fā)展、深化和問題的發(fā)現(xiàn)、分析、解決的全過程中，逐步積累解題經(jīng)驗，提高綜合能力.運算能力的初步形成，還必須在今后應用中得到鞏固、發(fā)展和深化.在應用過程中，運算的目的不一定是追求一個簡化的結(jié)果，而且要為一定的推理、演繹、判斷服務.

4．對教師的要求

4.1點撥盲點，深化概念

運算能力差的學生往往就是那些學數(shù)學困難的學生，而很多時候，數(shù)學概念不清直接導致了運算能力薄弱.我們很多老師非常敬業(yè)，一看到學生在解題中出了差錯，也不管是計算錯誤，還是概念沒弄清，就急著要把學生馬上糾正過來，這樣做妥當嗎？我國著名數(shù)學教育家孫維剛老師說：“題做錯了，是糾正自己對概念的片面理解或不正確的思想方法的反面教員.如果只是重做一遍，而不分析發(fā)生錯誤的第一層原因，第二層原因……那么，即使這次做對了，再做類似的題目，還會出錯.”所以，對于學生解答出現(xiàn)概念錯誤的習題，老師不應馬上糾正，要耐心地領著學生像在黑暗中尋找光明一樣地去發(fā)現(xiàn)錯誤的癥結(jié).

如：求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間？

部分學生通過 ，計算得：該函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為 ，而當 時，該區(qū)間為 ，可發(fā)現(xiàn) 是增區(qū)間？此時教師就必須從該函數(shù)的結(jié)構(gòu)（復合函數(shù)）來解釋其本質(zhì)了，而不是簡單的要求學生把小括號內(nèi)自變量前面的系數(shù)變成正的.

4.2改變傳統(tǒng)提問方法，敢于暴露錯誤

有些教師在提問時，為了減少差錯，保證教學順利進行，在提問對象選擇上常過多注意成績較好的學生，提問的方式也都是“誰能回答這個問題”等肯定方式，表面上看似乎教學效果不錯，但實際上人為掩蓋的錯誤不少.不是學生沒有問題，而是學生沒有充分顯示問題的機會.相反，如果提問時，注意問題的設置與提問對象的選擇的關系，改提問方式為“誰不能回答這個問題”、“誰做錯了，請舉手”等否定方式，那么其效果是不可忽視的.這種反常規(guī)的提問方式新鮮不俗，刺激強烈，印象深刻，能引起學生重視錯誤，并喚起學生正視錯誤的勇氣和信心.犯錯誤的學生也會感到“犯錯誤不會被指責、唾棄，同樣會受到老師的尊重和重視”，從而起到激發(fā)學生勇于知錯、改錯的自覺性的作用.

4.3幫助學生消除心理障礙，樹立自信心

部分學困生對數(shù)學興趣不大，沒有學習動力，甚至有厭煩心理，教師必須消除他們的心理障礙，樹立自信心.教師要多為學困生備課，在課堂上多引導、多提問、多鼓勵、少批評；平時多引導這些學生用數(shù)學知識解決一些實際問題，使學生增強學習動力，同時潛移默化激發(fā)其學習興趣；布置適量的作業(yè)，進行分層布置，公正的評價每一位學生，不把分數(shù)作為衡量學習好壞的惟一標準.

4.4選擇合適的訓練方法，把學生的錯誤消滅在萌芽狀態(tài)

學習數(shù)學，“熟能生巧”是經(jīng)驗，“多練”是當然的.問題是，我們該練什么？怎么練？認知心理學的研究表明，不是教師傳授得越多，學生就習得的越多，掌握得就越牢固.同樣，不是學生做的題目越多，運算能力就越強.選擇合適的訓練方法，訓練的素材就顯得十分重要.我們不能盲目地練，不能用題海戰(zhàn)術(shù)來提高學生運算的正確率.教師應該科學地對學生運算能力進行訓練，應該根據(jù)學生的錯誤設計有針對性的練習，就是哪些題該訓練，哪些題一定要在課堂上呈現(xiàn)或者需要反復地練習，教師一定要做到心中有數(shù).事實上，高考數(shù)學題順應時代的發(fā)展和需要，早已與“偏、難、怪”分離，“能力考查”轉(zhuǎn)而成為了高考命題的基本原則和重要取向.

總之，運算能力不是一朝一夕就能形成的，而是一個長期和連續(xù)的過程，小學、初中、高中甚至大學都要持續(xù)培養(yǎng).同時，學生的運算能力不僅是數(shù)學教師的職責，同時也是其他各學科教師的職責.當然，運算能力初步形成后，還必須在今后應用中得到鞏固、發(fā)展和深化,才能逐步提高.